Question

4．已知关于x的二次方程x²+2mx+2m+1=0，试问：
（1）当m为何值时，方程有一根大于1，另一根小于1；
（2）当 m为何值时，方程有两负根；
（3）当m为何值时，方程两根都在（0，1）内．

Answer 1

分析 （1）设f（x）=x²+2mx+2m+1，利用方程有一根大于1，另一根小于1，可得f（1）=2+4m＜0，即可求出m的取值范围；
（2）（3）利用判别式、韦达定理，建立不等式组，即可求出m的取值范围．

解答 解：（1）设f（x）=x²+2mx+2m+1，
∵方程有一根大于1，另一根小于1，
∴f（1）=2+4m＜0
∴$m＜-\frac{1}{2}$；
（2）方程有两负根，则$\left\{\begin{array}{l}{4{m}^{2}-8m-4≥0}\\{-m≤0}\\{2m+1＞0}\end{array}\right.$，解得$m≥1+\sqrt{2}$；
（3）方程两根都在（0，1）内，则$\left\{\begin{array}{l}{4{m}^{2}-8m-4≥0}\\{0＜-m＜1}\\{2m+1＞0}\end{array}\right.$，解得-$\frac{1}{2}$＜m≤1-$\sqrt{2}$．

点评 本题考查根的分布问题，考查二次函数的性质，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．