Question

20．已知函数f（x）=-lnx+x+h，在区间$[{\frac{1}{e}，e}]$上任取三个实数a，b，c均存在以f（a），f（b），f（c）为边长的三角形，则实数h的取值范围是（　　）

• A． （-∞，-1）
• B． （-∞，e-3）
• C． （-1，+∞）
• D． （e-3，+∞）

Answer 1

分析 由条件可得2f（x）_min＞f（x）_max且f（x）_min＞0，再利用导数求得函数的最值，从而得出结论．

解答 解：任取三个实数a，b，c均存在以f（a），f（b），f（c）为边长的三角形，
等价于f（a）+f（b）＞f（c）恒成立，可转化为2f（x）_min＞f（x）_max且f（x）_min＞0．
令$f'（x）=-\frac{1}{x}+1=\frac{x-1}{x}=0$得x=1．
当$\frac{1}{e}＜x＜1$时，f'（x）＜0；当1＜x＜e时，f'（x）＞0；
所以当x=1时，f（x）_min=f（1）=1+h，$f{（x）_{max}}=max\{f（\frac{1}{e}），f（e）\}$=$max\left\{{\frac{1}{e}+1+h，e-1+h}\right\}$=e-1+h，
从而可得$\left\{\begin{array}{l}2（1+h）＞e-1+h\\ h+1＞0\end{array}\right.$，解得h＞e-3，
故选：D．

点评 本题主要考查利用导数研究函数的单调性，函数的恒成立问题，求函数的最值，属于中档题．