Question

12．已知点F（0，$\frac{1}{4a}$），函数f（x）=ax²（a＞0）的图象在点A（1，f（1））处的切线为直线m．
（1）若点F到直线m的距离为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，求a的值；
（2）直线n与函数y=f（x）的图象相切于点B（异于点A），若直线m，n相交于点P，则线段AF，PF，BF的长能否构成等比数列？请加以说明．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，求得切线的斜率，可得直线m的方程，利用点F到直线m的距离为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，求a的值；
（2）求出P的坐标，利用等比数列的性质，即可得出结论．

解答 解：函数f（x）=ax²的导数为f′（x）=2ax，
即有在点A（1，f（1））处的切线斜率为k=2a，
∴直线m的方程为y-a=2a（x-1），即2ax-y-a=0，
∵点F（0，$\frac{1}{4a}$），F到直线m的距离为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{|-\frac{1}{4a}-a|}{\sqrt{4{a}^{2}+1}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵a＞0，
∴a=$\frac{1}{2}$；
（2）设B（x₀，y₀），则直线n的方程为y-y₀=x₀（x-x₀），即x₀x-y-$\frac{1}{2}$x₀²=0，
与x-y-$\frac{1}{2}$=0联立，可得x=$\frac{1}{2}$（1+x₀），y=$\frac{1}{2}$x₀，
∵线段AF，PF，BF的长构成等比数列，
∴$\frac{1}{4}$（1+x₀）²+（$\frac{1}{2}$x₀-$\frac{1}{2}$）²=（$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$）（y₀+$\frac{1}{2}$），
∴$\frac{1}{4}$（2+2x₀²）=$\frac{1}{2}$x₀²+$\frac{1}{2}$成立，
∴线段AF，PF，BF的长构成等比数列．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率，同时考查数列等比数列的判定，属于中档题．