Question

二项式（x 

3

2

+x 

1

3

）ⁿ的展开式中各项系数和是256，则展开式中x⁵的系数是

 

．（用数字作答）

Answer 1

考点：二项式定理

专题：二项式定理

分析：本题对于二项式系数的和可以通过赋值令x=1来求解，而各项二项式系数之和由二项式系数公式可知为2ⁿ，最后通过比值关系为64即可求出n的值是6．利用二项展开式的通项公式求出通项，令x的指数为1，求出r，将r的值代入通项求出展开式的x的系数

解答： 解：令（x 

3

2

+x 

1

3

）ⁿ中x为1得各项系数和为2ⁿ，
展开式的各项二项式系数和为2ⁿ
∵各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64
∴2ⁿ=256
解得n=8
展开式的通项为 T_r+1=C₈^rx12-

7r

6

，
12-

7r

6

=5得r=6，
展开式中x⁵的系数是C₈6=28．
故答案为：28．

点评：本题考查求展开式的各项系数和的重要方法是赋值法、考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题，解答关键是利用展开式的各项的二项式系数的和为2ⁿ