Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，AB=AC=5，D，E分别为BC，BB₁的中点，四边形B₁BCC₁是边长为6的正方形，求证CE⊥平面AC₁D．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面垂直的判定,直线与平面垂直的性质

专题：空间位置关系与距离

分析：由直棱柱的特征可得BB₁⊥AD，由三角形三线合一可得AD⊥BC，结合线面垂直的判定定理可得AD⊥平面B₁BCC₁．进而AD⊥CE，由侧面B₁BCC₁为正方形，D，E分别为BC，BB₁的中点，利用三角形全等可证得C₁D⊥CE，最后再由线面垂直的判定定理证得CE⊥平面AC₁D；

解答： 证明：所以BB₁⊥AD．
因为AB=AC，D为BC中点，
所以AD⊥BC．又BC∩BB₁=B，
所以AD⊥平面B₁BCC₁．
又CE?平面B₁BCC₁，
所以AD⊥CE．
因为四边形B₁BCC₁为正方形，D，E分别为BC，BB₁的中点，
所以Rt△CBE≌Rt△C₁CD，∠CC₁D=∠BCE．
所以∠BCE+∠C₁DC=90°．
所以C₁D⊥CE．
又AD∩C₁D=D，
所以CE⊥平面AC₁D．

点评：本题以一个特殊的直三棱柱为例，要我们证明线面平行和面面垂直，着重考查了平面与平面垂直的判定定理和直线与平面平移的判定定理，属于中档题