Question

若二次函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0），满足f（x+2）-f（x）=16x且f（0）=2．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若存在x∈[1，3]，使不等式f（x）＞2x+m成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质,函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由f（0）=2，求出c=2，根据f（x+2）-f（x）=4ax+4a+2b=16x，通过系数相等，从而求出a，b的值；
（2）问题转化为?x∈[1，2]，使不等式m＜4x²-10x+2成立，令g（x）=4x²-10x+2，x∈[1，2]，求出g（x）的最大值即可．

解答： 解：（1）由f（0）=2，解得：c=2，
∴f（x）=ax²+bx+2（a≠0），
由f（x+2）-f（x）
=[a（x+2）²+b（x+2）+2]-[ax²+bx+2]
=4ax+4a+2b
=16x，
∴

4a=16 4a+2b=0

，解得：

a=4 b=-8

，
∴f（x）=4x²-8x+2；
（2）（Ⅱ）∵?x∈[1，3]，使不等式f（x）＞2x+m，
即?x∈[1，3]，使不等式m＜4x²-10x+2成立，
令g（x）=4x²-10x+2，x∈[1，3]，
故g（x）_最大=g（3）=8，
∴m＜8．

点评：本题考查了求二次函数的解析式问题，考查了求参数的范围问题，考查了转化思想，是一道中档题．