Question

求下列函数的最大值与最小值，并求出自变量x的相应取值．
（1）y=4-

1

3

sinx；
（2）y=2+3cosx．

Answer 1

考点：余弦函数的图象,正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）由正弦函数的性质可知，当x=2kπ+

3π

2

，k∈Z时，sinx_min=-1，当x=2kπ+

π

2

，k∈Z时，sinx_max=1可求y_max=4-

1

3

sinx_min=

13

3

，x=2kπ+

3π

2

，k∈Z；
y_min=4-

1

3

sinx_max=

11

3

，x=2kπ+

π

2

，k∈Z．
（2）由余弦函数的性质可知，当x=2kπ，k∈Z时，cosx_max=1，当x=2kπ+π，k∈Z时，cos_min=-1，可求y_max=2+3cosx_max=5，x=2kπ，k∈Z；
y_min=2+3cos_min=-1，x=2kπ+π，k∈Z．

解答： 解：（1）∵由正弦函数的性质可知，当x=2kπ+

3π

2

，k∈Z时，sinx_min=-1，当x=2kπ+

π

2

，k∈Z时，sinx_max=1
∴y_max=4-

1

3

sinx_min=

13

3

，x=2kπ+

3π

2

，k∈Z；
y_min=4-

1

3

sinx_max=

11

3

，x=2kπ+

π

2

，k∈Z．
（2）∵由余弦函数的性质可知，当x=2kπ，k∈Z时，cosx_max=1，当x=2kπ+π，k∈Z时，cos_min=-1
∴y_max=2+3cosx_max=5，x=2kπ，k∈Z；
y_min=2+3cos_min=-1，x=2kπ+π，k∈Z．

点评：本题主要考查了三角函数的图象与性质，属于基本知识的考查．