Question

将函数y=sin（x-

π

3

）的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，再把所得的图象上所有点的横坐标向左平移

π

3

个单位长度后，得到函数f（x）的图象．
（1）求f（x）在[0，2π]上的单调递增区间；
（2）设函数g（x）=（1+sinx）f（x），求g（x）的值域．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换,正弦函数的图象

专题：函数的性质及应用,三角函数的图像与性质

分析：（1）变换后函数解析式为f（x）=2sinx，从而可得f（x）在[0，2π]上的单调递增区间是[0，

π

2

]∪[

3π

2

，2π]．
（2）化简得g（x）=2（sinx+

1

2

）²-

1

2

，从而可求g（x）的值域．

解答： 解：将函数y=sin（x-

π

3

）的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到y=2sin（x-

π

3

）的图象；
再把所得的图象上所有点的横坐标向左平移

π

3

个单位长度后，得到函数f（x）=2sin[（x+

π

3

）-

π

3

]=2sinx的图象．
（1）∵f（x）=2sinx，正弦函数的单调递增区间是[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]，k∈Z
∴f（x）在[0，2π]上的单调递增区间是[0，

π

2

]∪[

3π

2

，2π]．
（2）∵g（x）=（1+sinx）f（x）=（1+sinx）2sinx=2（sin²x+sinx）=2（sinx+

1

2

）²-

1

2

∵sinx∈[-1，1]
∴当sinx=1时，函数f（x）取到最大值为4，
当sinx=-

1

2

时，函数f（x）取到最小值为-

1

2

，
综上函数g（x）的值域是[-

1

2

，4]．

点评：本题主要考察了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，三角函数的图象与性质，函数值域的解法，属于基本知识的考查．