Question

函数f（x）是R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=-x²+2x+a（a∈R）．
（1）求函数f（x）在（-∞，0）上的单调减区间；
（2）是否存在实数a，使得函数f（x）在[-1，1]上单调递增？若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数单调性的性质

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）由函数的奇偶性可求得当x∈（-∞，0）时，f（x）=（x+1）²-a-1；从而由二次函数的性质可求函数f（x）在（-∞，0）上的单调减区间为（-∞，-1）；
（2）易知函数f（x）在[-1，0）（0，1]上单调递增，从而可得

a≥0 -a≤0

；从而解得．

解答： 解：（1）当x∈（-∞，0）时，-x＞0；
f（x）=-f（-x）=-（-x²-2x+a）
=x²+2x-a=（x+1）²-a-1；
由二次函数的性质知，
函数f（x）在（-∞，0）上的单调减区间为（-∞，-1）；
（2）易知函数f（x）在[-1，0）（0，1]上单调递增，
则若使函数f（x）在[-1，1]上单调递增，
则

a≥0 -a≤0

；
则a≥0．

点评：本题考查了函数的性质与应用，属于基础题．