Question

15．设D为△ABC的边AB上一点，P为△ABC内一点，且满足$\overrightarrow{AD}$=$\frac{λ+1}{{λ}^{2}+2}$$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{AD}$+$\frac{λ}{λ+1}$$\overrightarrow{BC}$，λ＞0，则$\frac{{S}_{△APD}}{{S}_{△ABC}}$的最大值为（　　）

• A． 2$\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{2}}{4}$

Answer 1

分析 根据向量关系，确定DP：BC，△ADP的高：△ABC的高=AD：AB，从而可求面积之比，再利用基本不等式，即可得到结论．

解答 解：$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{AD}$+$\frac{λ}{λ+1}$$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DP}$，
∴$\overrightarrow{DP}$=$\frac{λ}{λ+1}$$\overrightarrow{BC}$，
∴DP：BC=$\frac{λ}{λ+1}$，
∵$\overrightarrow{AD}$=$\frac{λ+1}{{λ}^{2}+2}$$\overrightarrow{AB}$，
∴△ADP的高：△ABC的高=AD：AB=$\frac{λ+1}{{λ}^{2}+2}$，
∴$\frac{{S}_{△APD}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{λ}{λ+1}$•$\frac{λ+1}{{λ}^{2}+2}$=$\frac{λ}{{λ}^{2}+2}$=$\frac{1}{λ+\frac{2}{λ}}$≥$\frac{1}{2\sqrt{λ•\frac{2}{λ}}}$=$\frac{1}{2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，当且仅当λ=$\sqrt{2}$时取等号，
故$\frac{{S}_{△APD}}{{S}_{△ABC}}$的最大值为$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
故选：D．

点评 本题考查向量知识的运用，考查三角形的面积，考查基本不等式的运用，解题的关键是确定面积之比．