Question

已知数列{a_n}是等差数列，{b_n}是等比数列，且b₁=2a₁=2，b₄=16，a₁+a₂+a₁₁=b₁+b₂+b₃．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）数列{c_n}满足c_n=（2a_n-1）b_n，求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：

分析：（1）由b4=b1q3，推导出q=2，由此能求出bn=2n．由a₁+a₂+a₁₁=b₁+b₂+b₃，推导出d=1，从而求出a_n=n．
（2）由cn=(2an-1)bn=(2n-1)•2n，利用错位相减法能求出Sn=(2n-3)•2n+1+6．

解答： （本小题满分13分）
解：（1）设{a_n}的公差为d，{b_n}的公比为q．
由b4=b1q3，得q3=

b4

b1

=

16

2

=8，从而q=2，（2分）
∴bn=b1qn-1=2×2n-1=2n，即bn=2n．（4分）
由

a1+a2+a11=b1+b2+b3 a1=1

，
得

3a1+11d=14 a1=1

，（6分）
∴d=1，（7分）
∴a_n=a₁+（n-1）d=1+（n-1）×1=n，即a_n=n．（8分）
（2）cn=(2an-1)bn=(2n-1)•2n（9分）
∴Sn=1×2+3×22+5×23+…+(2n-3)•2n-1+(2n-1)•2n（10分）
两边同乘以2，得2Sn=1×22+3×23+…+(2n-3)•2n+(2n-1)•2n+1，（11分）
两式相减得-Sn=2+23+24+…+2n+1-(2n-1)•2n+1（12分）
=2+

23•(1-2n-1)

1-2

-(2n-1)•2n+1
=（3-2n）•2ⁿ⁺¹-6
∴Sn=(2n-3)•2n+1+6．（13分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意错位相减求和法的合理运用．