Question

设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若

m

=（2，cos2C-1），

n

=（sin²

A+B

2

，1）且

m

⊥

n

．
（1）求角C的大小；
（2）若c=

3

，△ABC的面积S=

3

2

，求a+b的值．

Answer 1

考点：余弦定理,平面向量数量积的运算

专题：解三角形

分析：（1）△ABC中，由

m

⊥

n

，可得

m

•

n

=0，花简求得cosC=

1

2

，从而求得C的值．
（2）根据S=

3

2

，求得ab=2．由c=

3

以及余弦定理求得a+b的值．

解答： 解：（1）△ABC中，∵

m

⊥

n

，∴2sin2

A+B

2

+cos2C-1=0⇒cos2C+cosC=0，
∴2cos²C+cosC-1=0，∴cosC=

1

2

，即C=

π

3

．
（2）根据c=

3

，△ABC的面积S=

3

2

=

1

2

ab•sinC，可得ab=2．
由余弦定理c²=a²+b²-2ab•cosC，即 c²=（a+b）²-3ab，即3=（a+b）²-6，
求得（a+b）²-9，可得a+b=3．

点评：本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，余弦定理，根据三角函数的值求角，属于中档题．