Question

若n∈N^*，且n为奇数，则6ⁿ+C

1 n

•6^n-1+C

2 n

•6^n-2+…+C

n-1 n

•6被8除所得的余数是

 

．

Answer 1

考点：二项式定理的应用

专题：计算题,二项式定理

分析：法一：根据题意，由二项式定理，可以将6ⁿ+C_n¹•6^n-1+C_n²•6^n-2+…+C_n^n-1•6变形为C_n⁰•8ⁿ-C_n¹•8^n-1+…+（-1）^n-1C_n^n-1•8+（-1）ⁿC_nⁿ-1，又由n为奇数，则可得6ⁿ+C_n¹•6^n-1+C_n²•6^n-2+…+C_n^n-1•6=C_n⁰•8ⁿ-C_n¹•8^n-1+…+（-1）^n-1C_n^n-1•8-2，分析可得答案；
法二，用特殊制法，根据题意，n∈N^*，且n为奇数，令n=1，可得6ⁿ+C_n¹•6^n-1+C_n²•6^n-2+…+C_n^n-1•6=6，分析可得答案．

解答： 解：法一：根据题意，6ⁿ+C_n¹•6^n-1+C_n²•6^n-2+…+C_n^n-1•6
=6ⁿ+C_n¹•6^n-1+C_n²•6^n-2+…+C_n^n-1•6+C_nⁿ-1
=（6+1）ⁿ-1=7ⁿ-1=（8-1）ⁿ-1
=C_n⁰•8ⁿ-C_n¹•8^n-1+…+（-1）^n-1C_n^n-1•8+（-1）ⁿC_nⁿ-1
又由n为奇数，则6ⁿ+C_n¹•6^n-1+C_n²•6^n-2+…+C_n^n-1•6-1=C_n⁰•8ⁿ-C_n¹•8^n-1+…+（-1）^n-1C_n^n-1•8-2，
且C_n⁰•8ⁿ-C_n¹•8^n-1+…+（-1）^n-1C_n^n-1•8可以被8整除，
则6ⁿ+C_n¹•6^n-1+C_n²•6^n-2+…+C_n^n-1•6被8除所得的余数是6；
法二，根据题意，n∈N^*，且n为奇数，
在6ⁿ+C_n¹•6^n-1+C_n²•6^n-2+…+C_n^n-1•6中，令n=1，可得6ⁿ+C_n¹•6^n-1+C_n²•6^n-2+…+C_n^n-1•6=6，
6ⁿ+C_n¹•6^n-1+C_n²•6^n-2+…+C_n^n-1•6被8除所得的余数是6．
故答案为：6．

点评：本题考查二项式定理的应用，关键是根据二项式定理，灵活将6ⁿ+C_n¹•6^n-1+C_n²•6^n-2+…+C_n^n-1•6变形，对于填空题，法二是简便易行的方法．