Question

设函数f（x）=6cos²x-2

3

sinxcosx．
（1）求f（x）的最小正周期和值域；
（2）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（B）=0且b=2，cosA=

4

5

，求a和sinC．

Answer 1

考点：正弦定理的应用,三角函数中的恒等变换应用

专题：综合题,三角函数的求值

分析：（1）利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，即可求f（x）的最小正周期和值域；
（2）由f（B）=0，得B=

π

3

，由cosA=

4

5

，可求sinA=

3

5

，利用正弦定理，求出a，利用sinC=sin（π-A-B），可得sinC．

解答： 解：（1）f（x）=6cos²x-2

3

sinxcosx
=6×

1+cos2x

2

-

3

sin2x
=3cos2x-

3

sin2x+3
=2

3

cos（2x+

π

6

）+3．                                …（3分）
∴f（x）的最小正周期为T=

2π

2

=π，…（4分）
值域为[3-2

3

，3+2

3

]．                                …（6分）
（2）由f（B）=0，得cos（2B+

π

6

）=-

3

2

．
∵B为锐角，∴

π

6

＜2B+

π

6

＜

7π

6

，
∴2B+

π

6

=

5π

6

，∴B=

π

3

．      …（9分）
∵cosA=

4

5

，A∈（0，π），∴sinA=

3

5

．              …（10分）
在△ABC中，由正弦定理得a=

bsinA

sinB

=

4 3

5

．           …（12分）
∴sinC=sin（π-A-B）=sin（

2π

3

-A）=

3+4 3

10

．  …（14分）

点评：本题考查正弦定理，考查三角函数中的恒等变换，考查学生的计算能力，属于中档题．