Question

【题目】已知两个正数a，b满足a+b=1
（1）求证： ；
（2）若不等式 对任意正数a，b都成立，求实数x的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）

【解答】

证明：∵两个正数a，b满足a+b=1，

∴ ，当且仅当 时取等号，

∴ 成立．

（2）

【解答】解：由题意结合（1）可知，只须 ，

而当 时，解不等式 得 ，

当 时，解不等式 得 ，

当x≥2时，解不等式 得 ，

综上： 的解集为 ．

【解析】本题主要考查了绝对值不等式的解法，解决问题的关键是（1）由条件利用基本不等式将数字1进行转化即可证得结论；（2）将不等式 对任意正数a，b都成立，转化为 恒成立，由题意可得 ，分类讨论，去掉绝对值，求得它的解集．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用绝对值不等式的解法的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号．