题目内容
【题目】已知函数.
(1)当时,求曲线
在点
处的切线方程;
(2)讨论函数的单调性;
(3)若函数在
处取得极小值,设此时函数
的极大值为
,证明:
.
【答案】(1);(2)当
时,
在
上递减;当
时,
的减区间为
,
,增区间为
;当
时,
的减区间为
,
,增区间为
;(3)见解答过程。
【解析】试题分析:(1)先依据题设条件对函数求导,借助导数几何意义求出切线的斜率,运用直线的点斜式方程求解;(2)先对函数
然后再运用分类整合思想探求函数
的单调区间;(3)借助(2)的结论,确定函数
在
处取得极小值时在
处取得极大值,然后得到
,运用导数可知其在在
上递减,从而得到
,即
。
解:(1)当时,
,故
.
又,则
.
故所求切线方程为.
(2)∵
,
∴当时,
,故
在
上递减.
当时,
,
;
,
,
故的减区间为
,
,增区间为
,
当时,
,
;
,
,
故的减区间为
,
,增区间为
.
综上所述,当时,
在
上递减;
当时,
的减区间为
,
,增区间为
;
当时,
的减区间为
,
,增区间为
.
(3)依据(2)可知函数在
处取得极小值时,
,
故函数在
处取得极大值,即
,
故当时,
,即
在
上递减,
所以,即
.
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