Question

10．有下列五个命题：
（1）在平面内，F₁、F₂是定点，|F₁F₂|=6，动点M满足|MF₁|+|MF₂|=6，则点M的轨迹是椭圆；
（2）过M（2，0）的直线L与椭圆$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1交于P₁、P₂两点，线段P₁P₂中点为P，设直线L的斜率为k₁（k₁≠0），直线OP的斜率为k₂，则k₁k₂等于-$\frac{1}{2}$；
（3）“若-3＜m＜5，则方程$\frac{x^2}{5-m}+\frac{y^2}{m+3}=1$是椭圆”；
（4）椭圆$\frac{{x}^{2}}{10}$+$\frac{{y}^{2}}{6}$=1的两个焦点为F₁，F₂，点P为椭圆上的点，则能使$∠{F_1}P{F_2}=\frac{π}{2}$的点P的个数0个；
（5）“m=-2”是“直线（m+2）x+my+1=0与直线（m-2）x+（m+2）y-3=0垂直”的必要不充分条件；
其中真命题的序号是（2）、（4）．

Answer 1

分析 （1）在平面内，F₁、F₂是定点，|F₁F₂|=6，动点M满足|MF₁|+|MF₂|=6，则点M的轨迹是线段F₁F₂，即可判断出正误；
（2）设P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），线段P₁P₂中点P（x₀，y₀），代入椭圆方程可得：$\frac{（{x}_{2}+{x}_{1}）（{x}_{2}-{x}_{1}）}{2}$+（y₂+y₁）（y₂-y₁）=0，化为1+2k₁k₂=0，即可判断出正误；（3）方程$\frac{x^2}{5-m}+\frac{y^2}{m+3}=1$是椭圆?$\left\{\begin{array}{l}{5-m＞0}\\{m+3＞0}\\{5-m≠m+3}\end{array}\right.$，解得m范围即可判断出正误；
（4）椭圆$\frac{{x}^{2}}{10}$+$\frac{{y}^{2}}{6}$=1的两个焦点为F₁，F₂，点P为椭圆上的点，取椭圆的短轴端点P（0，$\sqrt{6}$），则∠F₁PF₂为最大角，而tan∠F₁PO=$\frac{c}{b}$=$\frac{2}{\sqrt{6}}$＜1，即可判断出正误；
（5）由直线（m+2）x+my+1=0与直线（m-2）x+（m+2）y-3=0，对m分类讨论：利用两条直线垂直的充要条件即可得出正误．

解答 解：（1）在平面内，F₁、F₂是定点，|F₁F₂|=6，动点M满足|MF₁|+|MF₂|=6，则点M的轨迹是线段F₁F₂，不是椭圆，是假命题；
（2）设P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），线段P₁P₂中点P（x₀，y₀），由于$\frac{{x}_{1}^{2}}{2}+{y}_{1}^{2}$=1，$\frac{{x}_{2}^{2}}{2}$+${y}_{2}^{2}$=1，相减可得：$\frac{（{x}_{2}+{x}_{1}）（{x}_{2}-{x}_{1}）}{2}$+（y₂+y₁）（y₂-y₁）=0，化为x₀+k₁•2y₀=0，∴1+2k₁k₂=0，因此k₁k₂等于-$\frac{1}{2}$，是真命题；
（3）方程$\frac{x^2}{5-m}+\frac{y^2}{m+3}=1$是椭圆?$\left\{\begin{array}{l}{5-m＞0}\\{m+3＞0}\\{5-m≠m+3}\end{array}\right.$，解得-3＜m＜5，m≠1，因此“若-3＜m＜5，则方程$\frac{x^2}{5-m}+\frac{y^2}{m+3}=1$是椭圆”是假命题；
（4）椭圆$\frac{{x}^{2}}{10}$+$\frac{{y}^{2}}{6}$=1的两个焦点为F₁，F₂，点P为椭圆上的点，取椭圆的短轴端点P（0，$\sqrt{6}$），则∠F₁PF₂为最大角，而tan∠F₁PO=$\frac{c}{b}$=$\frac{2}{\sqrt{6}}$＜1，∴$0＜∠{F}_{1}PO＜\frac{π}{4}$，∴0＜∠F₁PF₂＜$\frac{π}{2}$，因此能使$∠{F_1}P{F_2}=\frac{π}{2}$的点P的个数0个，是真命题；
（5）由直线（m+2）x+my+1=0与直线（m-2）x+（m+2）y-3=0，对m分类讨论：当m=0时，两条直线分别化为：2x+1=0，-2x+2y-3=0，此时两条直线不垂直，舍去；当m=-2时，两条直线分别化为：-2y+1=0，-4x-3=0，此时两条直线垂直，因此m=-2；当m≠0，-2时，由于两条直线垂直可得：-$\frac{m+2}{m}$×$\frac{2-m}{m+2}$=-1，解得m=1．综上可得：此两条直线垂直的充要条件为：m=-2或1，因此“m=-2”是“直线（m+2）x+my+1=0与直线（m-2）x+（m+2）y-3=0垂直”的充分不必要条件．是假命题．
综上可得：真命题为（2）、（4）．
答案为：（2）、（4）．

点评 本题考查了简易逻辑的判定方法、圆锥曲线的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．