Question

19．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A，ω，φ为常数，且A＞0，ω＞0，-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$）的部分图象如图所示：
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若f（α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{6}{5}$，且$\frac{π}{2}$＜α＜π，求$\frac{sin2α}{si{n}^{2}α+sinαcosα-cos2α}$的值．

Answer 1

分析 （1）由题意和图象可知A值和周期T，进而可的ω，代入点$（-\frac{π}{3}，-2）$可得φ值，可得解析式；
（2）由已知和同角三角函数基本关系可得$tanα=±\frac{3}{4}$，化简可得原式=$\frac{2tanα}{{2{{tan}^2}α+tanα-1}}$，分别代入计算可得．

解答 解：（1）由题意和图象可知A=2，T=2[$\frac{2π}{3}$-（-$\frac{π}{3}$）]=2π，
∴ω=$\frac{2π}{T}$=$\frac{2π}{2π}$=1，∴f（x）=2sin（x+φ），
∵图象过点$（-\frac{π}{3}，-2）$，∴$2sin（-\frac{π}{3}+φ）=-2$，
∴$sin（-\frac{π}{3}+φ）=-1$，又∵$-\frac{π}{2}＜φ＜\frac{π}{2}$，
∴$φ=-\frac{π}{6}$，∴$f（x）=2sin（x-\frac{π}{6}）$；
（2）∵$f（α+\frac{π}{6}）=2sinα=\frac{6}{5}$，∴$sinα=\frac{3}{5}$，
∴由同角三角函数基本关系可得$tanα=\frac{3}{4}$，
∵$\frac{sin2α}{{{{sin}^2}α+sinαcosα-cos2α}}=\frac{2sinαcosα}{{2{{sin}^2}α+sinαcosα-{{cos}^2}α}}$
=$\frac{2tanα}{{2{{tan}^2}α+tanα-1}}$，
∴当$tanα=\frac{3}{4}$时，原式=$\frac{12}{7}$，

点评 本题考查三角函数图象和解析式，涉及三角函数式的化简运算和分类讨论思想，属中档题．