Question

【题目】如图，四棱锥，侧面是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面是的菱形，为的中点．

（1）在棱上是否存在一点，使得，，，四点共面？若存在，指出点的位置并说明；若不存在，请说明理由；

（2）求点平面的距离．

Answer 1

【答案】（1）为棱的中点；（2）.

【解析】

试题分析：（1）当点为棱的中点时，，，，四点共面，利用中位线，有，即可得四点共面；（2）取中点,连结，，，易证平面，利用等体积法，根据，有，计算得，即点到平面的距离为．

试题解析：

（1）当点为棱的中点时，，，，四点共面．证明如下：

取棱的中点，连结，，又为的中点，所以，

在菱形中，所以，

所以，，，四点共面．

（2）点到平面的距离即点到平面的距离，取中点,连结，，，

依题意可知△，△均为正三角形，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，即为三棱锥的高．

在中，，，

在△中，，，边上的高，

所以△的面积．

设点到平面的距离为，由，得，

又，

∴，

解得，所以点到平面的距离为．