Question

10．已知函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}2x，x＞0\\ f（x+1），x≤0\end{array}\right.$，则$f（-\frac{4}{3}）$=$\frac{4}{3}$，若实数x₀满足f（f（x₀））=2，则x₀的最大值为$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 求$f（-\frac{4}{3}）$，先运用分段函数的第二段解析式，再由第一段解析式计算即可得到；令t=f（x₀），则f（t）=2，讨论若x₀＞0，若-1＜x₀≤0，若-2＜x₀≤-1，…，计算即可得到所求最大值．

解答 解：函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}2x，x＞0\\ f（x+1），x≤0\end{array}\right.$，
则f（-$\frac{4}{3}$）=f（1-$\frac{4}{3}$）=f（-$\frac{1}{3}$）=f（1-$\frac{1}{3}$）=f（$\frac{2}{3}$）=$\frac{4}{3}$；
若实数x₀满足f（f（x₀））=2，
令t=f（x₀），则f（t）=2，若x₀＞0，则t=2x₀＞0，
由4x₀=2，可得x₀=$\frac{1}{2}$；
若-1＜x₀≤0，即有t=f（x₀+1）=2（x₀+1），
由f（t）=2，即4（x₀+1）=2，解得x₀=-$\frac{1}{2}$；
若-2＜x₀≤-1，即有t=f（x₀+2）=2（x₀+2），
由f（t）=2，即4（x₀+2）=2，解得x₀=-$\frac{3}{2}$；
若若-3＜x₀≤-2，即有t=f（x₀+3）=2（x₀+3），
由f（t）=2，即4（x₀+3）=2，解得x₀=-$\frac{5}{2}$；
…
综上可得，x₀的最大值为$\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{4}{3}$，$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查分段函数的运用，考查分段函数值的求法，注意运用各段的表达式，考查分类讨论的思想方法，以及运算能力，属于中档题．