Question

17．设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且${S_n}=\frac{1}{3}n{a_n}+{a_n}-c$（c是常数，n∈N*），a₂=6．
（1）求数列{a_n}的通项公式
（2）证明：$\frac{1}{{{a_1}{a_2}}}+\frac{1}{{{a_2}{a_3}}}+…+\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}＜\frac{1}{9}$．

Answer 1

分析 （1）利用递推关系、等差数列的通项公式即可得出；
（2）利用裂项求和和放缩法证明即可．

解答 解：（1）∵S_n=$\frac{1}{3}$na_n+a_n-c，
当n=1时，a₁=S₁=$\frac{1}{3}$a₁+a₁-c，
解得a₁=3c，
当n=2，S₂=$\frac{2}{3}$a₂+a₂-c，
即a₁+a₂=$\frac{2}{3}$a₂+a₂-c，
解得a₂=6c，∴6c=6，
解得c=1．
则a₁=3，数列{a_n}的公差d=6-3=3，
∴a_n=a₁+（n-1）d=3+3（n-1）=3n．
（2）证明：∵$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{9n（n+1）}$=$\frac{1}{9}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
∴$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{9}$（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{1}{9}$（1-$\frac{1}{n+1}$）＜$\frac{1}{9}$．

点评 本题考查了递推关系、“裂项求和”“放缩法”、等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．