Question

20．设平面内两向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$互相垂直，且|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow{b}$|=1，又k与t是两个不同时为零的实数．
（1）若$\overrightarrow{x}$=$\overrightarrow{a}$+（t-3）$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{y}$=-k$\overrightarrow{a}$+t$\overrightarrow{b}$垂直，试求k关于t的函数关系式k=f（t）；
（2）求函数k=f（t）的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据条件$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=0$，$\overrightarrow{x}•\overrightarrow{y}=0$，进行数量积的运算便可得出-4k+t²-3t=0，从而得出k关于t的关系式；
（2）由$k=\frac{1}{4}（{t}^{2}-3t）$配方，便可求出k的最小值．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow{b}$；
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=0$；
又$\overrightarrow{x}⊥\overrightarrow{y}$；
∴$\overrightarrow{x}•\overrightarrow{y}=0$，即：
$[\overrightarrow{a}+（t-3）\overrightarrow{b}]•（-k\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}）$
=$-k{\overrightarrow{a}}^{2}-k（t-3）\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+t\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$$+t（t-3）{\overrightarrow{b}}^{2}$
=-4k+0+0+t²-3t
=0；
∴-4k+t²-3t=0，即k=$\frac{1}{4}$（t²-3t）；
（2）由（1）知k=$\frac{1}{4}$（t²-3t）=$\frac{1}{4}（t-\frac{3}{2}）^{2}-\frac{9}{16}$；
即函数的最小值为-$\frac{9}{16}$．

点评 考查向量垂直的充要条件，向量数量积的运算，以及配方法求二次函数的最值．