Question

14．设向量$\overrightarrow{m}$=（x，y），$\overrightarrow{n}$=（x-y），P为曲线$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=1（x＞0）上的一个动点，若点P到直线x-y+1=0的距离大于λ恒成立，则实数λ的最大值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 求出$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$得出双曲线x²-y²=1（x＞0），根据双曲线的渐近线与直线x-y+1=0平行，转化为λ的最大值是直线x-y+1=0与渐近线的距离，求出即可．

解答 解：向量$\overrightarrow{m}$=（x，y），$\overrightarrow{n}$=（x-y），
∴$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=x²-y²=1（x＞0），
又双曲线x²-y²=1的渐近线方程为x±y=0，
由点P到直线x-y+1=0的距离大于λ恒成立，
∴λ的最大值为直线x-y+1=0与直线x-y=0的距离，
即λ的最大值为$\frac{|1-0|}{\sqrt{{1}^{2}{+（-1）}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了双曲线的性质与应用问题，也考查了平面向量数量积的应用问题，是基础题．