Question

10．在直角坐标系xOy中，直线C₁的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=4-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=-1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C₂：ρ=4sinθ
（Ⅰ）求C₁的普通方程和C₂的直角坐标方程
（Ⅱ）判断直线C₁与曲线C₂的位置关系，若相交，求出弦长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）消去t，求出C₁的方程即可，由ρ²=x²+y²，ρsinθ=y，求出c₂的方程即可；（Ⅱ）联立方程组，求出弦长即可．

解答 解：（Ⅰ）∵C₁的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=4-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=-1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），
∴C₁的方程是：x+y=3；
由C₂：ρ=4sinθ，
ρ²=x²+y²，ρsinθ=y，
得x²+y²=4y，
故x²+（y-2）²=4；
（Ⅱ）由$\left\{\begin{array}{l}{x+y=3}\\{{x}^{2}{+（y-2）}^{2}=4}\end{array}\right.$，
得2x²-2x-3=0，
故△=28＞0，
故直线和圆相交，
x₁+x₂=5，x₁x₂=$\frac{9}{2}$，
故弦长d=$\sqrt{{{（x}_{1}{+x}_{2}）}^{2}-{{4x}_{1}x}_{2}}$=$\sqrt{7}$．

点评 本题考查了极坐标方程，参数方程以及直角坐标方程的转化，考查直线和圆的位置关系，考查弦长问题，是一道中档题．