Question

8．已知$\overrightarrow{b}$=（-3，4），$\overrightarrow{c}$=（1，-1）并与向量$\overrightarrow{a}$的关系为$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{b}$+2$\overrightarrow{c}$．
（1）求向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{c}$、$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$的坐标；
（2）求$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{c}$与$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$夹角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）利用两个向量坐标形式的运算法则，求得向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{c}$、$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$的坐标．
（2）设$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{c}$与$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$夹角为θ，利用两个向量的数量积公式求得（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{c}$）•（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$） 的值，再求得|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{c}$|和|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$|的值，可得cosθ=$\frac{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}）•（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}）}{|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}|•|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}|}$ 的值．

解答 解：（1）∵已知$\overrightarrow{b}$=（-3，4），$\overrightarrow{c}$=（1，-1）并与向量$\overrightarrow{a}$的关系为$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{b}$+2$\overrightarrow{c}$，
∴$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{b}$+2$\overrightarrow{c}$=（-3，4）+（2，-2）=（-1，2）；$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}$=（-1，2）+（1，-1）=（0，1）；
$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$=（-1，2）-（1，-1）=（-2，3）．
（2）设$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{c}$与$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$夹角为θ，∵（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{c}$）•（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$）=（0，1）•（-2，3）=0+3=3，
|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{c}$|=1，|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{4+9}$=$\sqrt{13}$，
∴cosθ=$\frac{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}）•（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}）}{|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}|•|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}|}$=$\frac{3}{1×\sqrt{13}}$=$\frac{3\sqrt{13}}{13}$．

点评 本题主要考查两个向量的数量积公式，两个向量的数量积的定义，两个向量坐标形式的运算，属于基础题．