Question

若定义在R上的函数f（x）是奇函数，f（x-2）是偶函数，且当0＜x≤2时，f（x）=

3	x

，则方程f（x）=f（3）在区间（0，16）上的所有实数根之和是

 

．

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合

专题：函数的性质及应用

分析：根据题意可得f（x+8）=f（x），f（2-x）=f（2+x），可得周期为8，x=2为对称轴，根据周期，与对称性求出方程f（x）=f（3）在区间（0，16）上的所有实数根即可．

解答： 解：∵定义在R上的函数f（x）是奇函数，
∴f（-x）=-f（x），
∵f（x-2）是偶函数，
∴f（x-2）=f（-x-2），
f（2-x）=f（2+x），
即f（x）=f（4-x），
f（x+4）=-f（x），
∴f（x+8）=f（x），
可得周期为8，x=2为对称轴，
∵f（x）=f（3），
∴x₁=1，x₂=3，x₃=9，x₄=11，x₅=17，x₆=19，
∵在区间（0，16）上的所有实数根之和，
∴x₁+x₂+x₃+x₄=1+3+9+11=24，
故答案为：24

点评：本题考查了函数的性质，运用性质求解方程的根，属于中档题．