Question

下列四个命题：
①函数y=-

1

x

在其定义域上是增函数；
②y=x和y=

x2

表示同一个函数；
③y=x²-2|x|-3的递增区间为[1，+∞）；
④若2^a=3^b＜1，则a＜b＜0．
其中正确命题的序号是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：①利用y=-

1

x

的单调性质可判断①之正误；
②利用y=

x2

=|x|可判断y=x和y=

x2

是否为同一函数；
③通过对x范围的讨论，利用二次函数的单调性质可求得y=x²-2|x|-3的递增区间，从而可判断其正误；
④在同一直角坐标系中作出y=3^x与y=2^x的图象，数形结合，可判断④之正误．

解答： 解：①∵y=-

1

x

在区间（-∞，0），（0，+∞）上单调递增，但在其定义域内并不是增函数，故①错误；
②∵y=

x2

=|x|，显然与y=x不是同一函数，故②错误；
③令f（x）=x²-2|x|-3，
则f（-x）=（-x）²-2|-x|-3=x²-2|x|-3=f（x），故f（x）=x²-2|x|-3为偶函数，
又当x≥0时，f（x）=x²-2x-3=（x-1）²-4，在区间[0，1]上单调递减，在区间[1，+∞）上单调递增，而偶函数在对称区间上的单调性相反，
∴y=x²-2|x|-3的递增区间为[-1，0]，[1，+∞），故③错误；
④在同一直角坐标系中作出y=3^x与y=2^x的图象，

∵2^a=3^b＜1，
由图知a＜b＜0，故④正确；
综上所述，正确命题的序号是④．
故答案为：④．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查函数的单调性与图象性质，考查作图能力、分析解决问题的能力，属于中档题．