Question

如图，在棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E是棱D₁D的中点，点F在棱B₁B上，且满足B₁F=2FB．
（1）求证：EF⊥A₁C₁；
（2）在棱C₁C上确定一点G，使A，E，G，F四点共面，并求此时C₁G的长；
（3）求平面AEF与平面ABCD所成二面角的余弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,空间中直线与平面之间的位置关系

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）连结B₁D₁，BD，由已知条件推导出A₁C₁⊥DD₁，从而得到A₁C₁⊥平面BB₁D₁D．由此能证明EF⊥A₁C₁．
（2）以点D为坐标原点，以DA，DC，DD₁所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出当C₁G=

1

6

a时，A，E，G，F四点共面．
（3）利用已知条件求出平面AEF的法向量和平面ABCD的一个法向量，由此能求出平面AEF与平面PQ所成二面角的余弦值．

解答： （1）证明：连结B₁D₁，BD，∵四边形A₁B₁C₁D₁是正方形，∴B₁D₁⊥A₁C₁．
在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
∵DD₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，A₁C₁?平面A₁B₁C₁D₁，∴A₁C₁⊥DD₁．
∵B₁D₁∩DD₁=D₁，B₁D₁，DD₁?平面BB₁D₁D，∴A₁C₁⊥平面BB₁D₁D．
∵EF?平面BB₁D₁D，∴EF⊥A₁C₁．
（2）解：以点D为坐标原点，
以DA，DC，DD₁所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，
建立如图的空间直角坐标系，
则A（a，0，0），A₁（a，0，a），C₁（0，a，a），E(0，0，

1

2

a)，F(a，a，

1

3

a)，
∴

A1C1

=(-a，a，0)，

EF

=(a，a，-

1

6

a)．
设G（0，a，h），
∵平面ADD₁A₁∥平面BCC₁B₁，平面ADD₁A₁∩平面AEGF=AE，
平面BCC₁B₁∩平面AEGF=FG，
∴存在实数λ，使得

FG

=λ

AE

．
∵

AE

=(-a，0，

1

2

a)，

FG

=(-a，0，h-

1

3

a)，
∴(-a，0，h-

1

3

a)=λ(-a，0，

1

2

a)．
∴λ=1，h=

5

6

a．∴C₁G=CC1-CG=a-

5

6

a=

1

6

a．
∴当C₁G=

1

6

a时，A，E，G，F四点共面．
（3）解：由（1）知

AE

=(-a，0，

1

2

a)，

AF

=(0，a，

1

3

a)．
设

n

=（x，y，z）是平面AEF的法向量，
则

n • AE =0 n • AF =0

，即

-ax+ 1 2 az=0 ay+ 1 3 az=0.

取z=6，则x=3，y=-2．
所以

n

=（3，-2，6）是平面AEF的一个法向量．
而

DD1

=(0，0，a)是平面ABCD的一个法向量，
设平面AEF与平面ABCD所成的二面角为θ，
则cosθ=

|0×3+0×(-2)+a×6|

32+(-2)2+62 ×|a|

=

6

7

．
故平面AEF与平面PQ所成二面角的余弦值为

6

7

．

点评：本小题主要考查空间线面关系、四点共面、二面角的平面角、空间向量及坐标运算等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力