Question

18．已知点C是圆F：（x-1）²+y²=16上任意一点，点F′与点F关于原点对称．线段CF′的中垂线与CF交于P点．
（Ⅰ） 求动点P的轨迹方程E；
（Ⅱ） 设点A（4，0），若过点F的直线交曲线E于M、N两点，求△AMN面积的最大值．

Answer 1

分析 （I）由题意可得：|PF′|=|PC|，又|PC|+|PF|=4，可得|PF′|+|PF|=4＞|FF′|=2，由椭圆的定义即可得出．
（II）设直线MF：x=ty+1，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），与椭圆方程化为：（3t²+4）y²+6ty-9=0，利用根与系数的关系可得：|y₁-y₂|=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$，可得：S_△AMN=$\frac{1}{2}$|FA||y₁-y₂|，代入化简整理利用函数的单调性即可得出．

解答 解：（I）由题意可得：|PF′|=|PC|，又|PC|+|PF|=4，∴|PF′|+|PF|=4＞|FF′|=2，
由椭圆的定义可得：2a=4，c=1，
故动点P的轨迹方程E：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（II）设直线MF：x=ty+1，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），联立$\left\{\begin{array}{l}{x=ty+1}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12}\end{array}\right.$，
化为：（3t²+4）y²+6ty-9=0，
∴y₁+y₂=$\frac{-6t}{3{t}^{2}+4}$，y₁y₂=$\frac{-9}{3{t}^{2}+4}$．
∴|y₁-y₂|=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\sqrt{\frac{36{t}^{2}}{（3{t}^{2}+4）^{2}}+\frac{36}{3{t}^{2}+4}}$=$\frac{12\sqrt{{t}^{2}+1}}{3{t}^{2}+4}$，
∴S_△AMN=$\frac{1}{2}$|FA||y₁-y₂|=$\frac{18\sqrt{{t}^{2}+1}}{3{t}^{2}+4}$=$\frac{18}{3\sqrt{{t}^{2}+1}+\frac{1}{\sqrt{{t}^{2}+1}}}$，
令m=$\sqrt{{t}^{2}+1}$≥1，则函数g（m）=3m+$\frac{1}{m}$在[1，+∞）上单调递增，故g（t）_min=g（1）=4，
∴S_△AMN≤$\frac{18}{4}$=$\frac{9}{2}$，即当t=0时，△PAB的面积取得最大值，且最大值为$\frac{9}{2}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与与相交弦长问题、一元二次方程的根与系数的关系、三角形面积计算公式、函数的单调性、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．