Question

20．如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E是棱PD的中点，点F是PC的中点F
（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；
（Ⅱ）若ABCD为正方形，探究在什么条件下，二面角C-AF-D大小为60°？

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接BD，设AC∩BD=O，连结OE，则PB∥EO，由此能证明PB∥平面AEC．
（Ⅱ）由题意知AD，AB，AP两两垂直，建立空间直角坐标系A-xyz，利用向量法能求出当AP等于正方形ABCD的边长时，二面角C-AF-D的大小为60°．

解答 证明：（Ⅰ）连接BD，设AC∩BD=O，连结OE，
∵四边形ABCD为矩形，
∴O是BD的中点，
∵点E是棱PD的中点，
∴PB∥EO，
又PB?平面AEC，EO?平面AEC，
∴PB∥平面AEC．
解：（Ⅱ）由题意知AD，AB，AP两两垂直，建立如图所示空间直角坐标系A-xyz，
设AB=2a，AD=2b，AP=2c，
则A（0，0，0），B（2a，0，0），C（2a，2b，0），D（0，2b，0），P（0，0，2c）．
设AC∩BD=O，连结OE，则O（a，b，0），E（0，b，c）．
因为$\overrightarrow{PB}=（2a\;，\;0\;，\;-2c）$，$\overrightarrow{EO}=（a\;，\;0\;，\;-c）$
所以$\overrightarrow{PB}=2\overrightarrow{EO}$，所以$\overrightarrow{PB}$∥$\overrightarrow{EO}$，a=b，A（0，0，0），B（2a，0，0），
C（2a，2a，0），D（0，2a，0），P（0，0，2c），E（0，a，c），F（a，a，c），
因为z轴?平面CAF，所以设平面CAF的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，1，0），
而$\overrightarrow{AC}=（2a\;，\;2a\;，\;0）$，所以$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{n}$=2ax+2a=0，得x=-1，所以$\overrightarrow{n}$=（-1，1，0）．
因为y轴?平面DAF，所以设平面DAF的一个法向量为$\overrightarrow{m}$=（1，0，z），
而$\overrightarrow{AF}=（a\;，\;a\;，\;c）$，所以$\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{m}$=a+cz=0，得$z=-\frac{a}{c}$，
所以$\overrightarrow{m}$=（1，0，-$\frac{a}{c}$）∥$\overrightarrow{{m}^{'}}$=（c，0，-a）．
cos60°=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{m}^{'}}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{{m}^{'}}|}$=$\frac{c}{\sqrt{2（{a}^{2}+{c}^{2}）}}=\frac{1}{2}$，得a=c．
即当AP等于正方形ABCD的边长时，二面角C-AF-D的大小为60°．

点评 本题考查线面平行的证明，考查二面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．