Question

7．已知f（x）=2sin²x+mcosx+1，
（1）若m=1，求f（x）的最大值和最小值；
（2）若m∈R，求f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）根据二次函数的和余弦函数的性质即可求出最值，
（2）根据二次函数的和余弦函数的性质分类讨论即可求出最值．

解答 解：（1）当m=1时，f（x）=2sin²x+cosx+1=2-2cos²x+cosx=-2（cosx-$\frac{1}{4}$）²+$\frac{17}{8}$，
∵-1≤cosx≤1，
当cosx=$\frac{1}{4}$，f（x）_max=$\frac{17}{8}$，
当cosx=-1，f（x）_min=2-2-1=-1．
（2）f（x）=2sin²x+mcosx+1=2-2cos²x+mcosx=-2（cosx-$\frac{m}{4}$）²+$\frac{{m}^{2}}{8}$+2，
∵-1≤cosx≤1，
当-1≤$\frac{m}{4}$≤1，即-4≤m≤4时，f（x）_max=$\frac{{m}^{2}}{8}$+2
当-4≤m＜0时，f（x）_min=f（1）=2-2+m=m，
当0≤m≤4时，f（x）_min=f（-1）=2-2-m=-m，
当m＜-4时，f（x）在[-1，1]上单调递减，∴f（x）_max=f（-1）=2-2-m=-m，f（x）_min=f（1）=2-2+m=m，
当m＞4时，f（x）在[-1，1]上单调递增，∴f（x）_max=f（1）=m，f（x）_min=f（-1）=-m，
综上所述，f（x）_max=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{m}^{2}}{8}+2，-4≤m≤4}\\{-m，m＜-4}\\{m，m＞4}\end{array}\right.$，f（x）_min=$\left\{\begin{array}{l}{m，m＜0}\\{-m，m≥0}\end{array}\right.$

点评 本题考查了二次函数和余弦函数的性质，以及分类讨论的思想，属于中档题．