Question

15．如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱AA₁⊥底面ABC，∠ACB=90°，E是棱CC₁的中点，F是AB的中点，AC=BC=1，AA₁=2．
（1）求证：CF∥平面AB₁E；
（2）求点C到平面AB₁E的距离．

Answer 1

分析 （1）取AB₁的中点G，联结EG，FG，易证四边形FGEC是平行四边形，利用线面平行的判定定理即可证得CF∥平面AB₁E；
（2）依题意，可证得AC⊥BB₁，进而可证AC⊥平面EB₁C，结合已知，利用等体积，即可求得点C到平面AB₁E的距离．

解答 （1）证明：取AB₁的中点G，联结EG，FG，
∵F、G分别是AB、AB₁中点，
∴FG∥BB₁，FG=$\frac{1}{2}$BB₁，
∵E为侧棱CC₁的中点，
∴FG∥EC，FG=EC，
所以四边形FGEC是平行四边形，…（4分）
∴CF∥EG，
∵CF?平面AB₁E，EG?平面AB₁E，
∴CF∥平面AB₁E．…（6分）
（2）解：∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱AA₁⊥底面ABC，
∴BB₁⊥面ABC．
又∵AC?平面ABC，
∴AC⊥BB₁，
∵∠ACB=90°，
∴AC⊥BC，BB₁∩BC=B．
∴AC⊥平面EB₁C，
∴AC⊥CB₁…（8分）
∴${V}_{A-E{B}_{1}C}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×1$=$\frac{1}{6}$．…（10分）
∵AE=EB₁=$\sqrt{2}$，AB₁=$\sqrt{6}$，
∴${S}_{△A{B}_{1}E}$=$\frac{1}{2}×\sqrt{6}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
设点C到平面AB₁E的距离为h，则$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}h=\frac{1}{6}$，∴h=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（12分）

点评 本题考查直线与平面平行的判定，考查线面垂直的性质，考查三棱锥的体积轮换公式的运用，考查推理证明与运算能力，属于中档题．