Question

y=log₈（2^x-1）-

1

3

x的值域是

 

．

Answer 1

考点：对数函数的图像与性质

专题：函数的性质及应用

分析：化简y=log₈（2^x-1）-

1

3

x，为y=

1

3

log₂（1-2^-x）．判断单调性利用单调性求解即可．

解答： 解：∵y=log₈（2^x-1）-

1

3

x=

1

3

log₂（2^x-1）-

1

3

x=

1

3

[log₂（2^x-1）-log₂2^x]=

1

3

log₂（1-2^-x），
∴y=

1

3

log₂（1-2^-x）．
∵g（x）=1-2^-x的单调递增，x＞0，0＜2^-x＜1，0＜1-2^-x＜1
∴y=

1

3

log₂（1-2^-x）单调递增，
∴

1

3

log₂（1-2^-x）＜0，
∴y=log₈（2^x-1）-

1

3

x的值域为（-∞，0），
故答案为：（-∞，0）．

点评：本题考查了有关对数函数的单调性，运用求解值域，属于中档题．