Question

已知椭圆

x2

4

+

y2

b2

=1（0＜b＜2）的左焦点为F，左右顶点分别为A，C，上顶点为B，过F，B，C作⊙P．
（1）当b=

3

时，求圆心P的坐标；
（2）是否存在实数b，使得直线AB与⊙P相切？若存在求b的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）利用已知和椭圆的性质即可得出a，b，c．进而得到点B，C，F的坐标，设出圆的一般方程，利用待定系数法即可得出；
（2）假设存在实数b，使得直线AB与⊙P相切，运用圆的性质和圆的切线的性质，设圆心P（

a-c

2

，d），
运用垂直的条件和圆的半径相等即可判断．

解答： 解：（1）当b=

3

时，椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1，
∴a²=4，得a=2．∴c=

a2-b2

=

4-3

=1．
∴A（-2，0），B（0，

3

），C（2，0），F（-1，0），
设圆P的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，
则

1-D+F=0 4+2D+F=0 3+ 3 E+F=0

，解得

D=-1 E=- 3 3 F=-2

．
∴圆P的方程为x²+y²-x-

3

3

y-2=0，即有圆心P（

1

2

，

3

6

）；
（2）假设存在实数b，使得直线AB与⊙P相切，则有B为切点，B（0，b），
则设圆心P（

a-c

2

，d），即有

AB

=（c，b），

PB

=（

c-a

2

，b-d），

PC

=（

a+c

2

，-d），
由

AB

•

PB

=0且|

PB

|=|

PC

|，
则c•

c-a

2

+b（b-d）=0且

( c-a 2 )2+(b-d)2

=

( a+c 2 )2+d2

即为c²+2b²=ac+2bd且ac+2bd=b²，即有c²+b²=0，不成立．
故不存在实数b，使得直线AB与⊙P相切．

点评：熟练掌握椭圆的性质、圆的切线性质及其一般方程、待定系数法是解题的关键．