Question

圆心C在直线l：x+2y=0，圆C过点A（2，-3），且截直线m：x-y-1=0所得弦长为2

2

，求圆C的方程．

Answer 1

考点：直线与圆相交的性质

专题：直线与圆

分析：设圆心的坐标为M（-2b，b），求得圆心M到直线m：x-y-1=0的距离d=

|3b+1|

2

．再根据圆C过点A（2，-3），可得半径r=

(2+2b)2+(-3-b)2

=

( |3b+1| 2 )2+( 2 )2

，求得b的值，可得圆的方程．

解答： 解：根据圆心C在直线l：x+2y=0上，设圆心的坐标为M（-2b，b），
则圆心M到直线m：x-y-1=0的距离，即弦心距d=

|-2b-b-1|

2

=

|3b+1|

2

．
根据圆C过点A（2，-3），可得半径r=|MA|=

(2+2b)2+(-3-b)2

，
再根据弦长公式求得r=

( |3b+1| 2 )2+( 2 )2

，∴

(2+2b)2+(-3-b)2

=

( |3b+1| 2 )2+( 2 )2

．
解得b=-1，或b=-21．
当b=-1时，圆心的坐标为（2，-1），半径为2，圆的方程为 （x-2）²+（y+1）²=4．
当b=-21时，圆心的坐标为（42，-21），半径为

1924

，圆的方程为（x-42）²+（y+21）²=1924．
综上，所求的圆的方程为 （x-2）²+（y+1）²=4，或 （x-42）²+（y+21）²=1924．

点评：本题主要考查直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式、弦长公式的应用，属于中档题．