Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

）的图象的一部分如图所示：
（1）求函数f（x）的解析式，并写出它的单调减区间；
（2）当x∈[-6，-

2

3

]时，求函数y=f（x+2）的值域；
（3）记S=f（0）+f（1）+…+f（2014），求S的值．

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：综合题,三角函数的图像与性质

分析：（1）由图知A=2，

1

2

T=4，易求ω=

π

4

；又1×

π

4

+φ=2kπ+

π

2

（k∈Z），|φ|＜

π

2

，可求得φ，从而可得函数f（x）的解析式及其单调减区间；
（2）当x∈[-6，-

2

3

]时，x+2∈[-4，

4

3

]，

π

4

（x+2）+

π

4

∈[-

3π

4

，

7π

12

]，利用正弦函数的单调性可求函数y=f（x+2）的值域；
（3）利用f（x）=2sin（

π

4

x+

π

4

）的周期T=8，即可求得S=f（0）+f（1）+…+f（2014）的值．

解答： 解：（1）由图知A=2，

1

2

T=3-（-1）=4，T=8，
∴ω=

2π

T

=

π

4

；
又1×

π

4

+φ=2kπ+

π

2

（k∈Z），
∴φ=2kπ+

π

4

（k∈Z），又|φ|＜

π

2

，
∴φ=

π

4

，
∴f（x）=2sin（

π

4

x+

π

4

）；
由2kπ+

π

2

≤

π

4

x+

π

4

≤2kπ+

3π

2

（k∈Z），得：8k+1≤x≤8k+5（k∈Z），
∴f（x）=2sin（

π

4

x+

π

4

）的单调递减区间为[8k+1，8k+5]（k∈Z）；
（2）当x∈[-6，-

2

3

]时，x+2∈[-4，

4

3

]，

π

4

（x+2）+

π

4

∈[-

3π

4

，

7π

12

]，
∴-2≤f（x）=2sin（

π

4

x+

π

4

）≤2，
即y=f（x+2）的值域为[-2，2]．
（3）∵f（0）=

2

，f（1）=2，f（2）=

2

，f（3）=0，f（4）=-

2

，f（5）=-2，f（6）=-

2

，f（7）=0，
∴f（0）+f（1）+…+f（7）=0，
∵f（x）=2sin（

π

4

x+

π

4

）的周期T=8，2015=251×8+7=252×8-1，
∴S=f（0）+f（1）+…+f（2014）=252×0-f（7）=252

2

-0=0．

点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查正弦函数的单调性，考查图象变换与数列求和，属于难题．