Question

已知函数f（x）=ax-x²-lnx在（1，+∞）上是减函数，求g（x）=e^2x-ae^x-1在[ln

1

3

，0]上的最小值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,分类讨论,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：求出f（x）的导函数，据导函数的符号与函数单调性的关系，令导函数小于等于0恒成立，分离出a，利用函数的单调性求出函数的最小值，令a小于等于最小值即可得到a的范围．通过换元将函数g（x）转化为二次函数，通过对对称轴与定义域位置关系的讨论，分情况求出函数的最小值．

解答： 解：由于函数f（x）=ax-x²-lnx，导数f′（x）=a-2x-

1

x

，
∵f（x）在（1，+∞）上是减函数，
∴a-2x-

1

x

≤0在（1，+∞）上恒成立，
即a≤2x+

1

x

恒成立，
∴只需a≤（2x+

1

x

）_min即可．
由于（2x+

1

x

）′=2-

1

x2

＞0，则（1，+∞）为增区间，则有a≤3．
再设e^x=t，∵x∈[ln

1

3

，0]，则t∈[

1

3

，1]．
设h（t）=t²-at-1=（t-

a

2

）²-（1+

a2

4

），
其对称轴t=

a

2

，由a≤3，则t=

a

2

≤

3

2

，
则当

a

2

≤

1

3

时，[

1

3

，1]为增区间，g（x）的最小值为h（

1

3

）=-

8

9

-

1

3

a；
当1≤

a

2

≤

3

2

时，[

1

3

，1]为减区间，g（x）的最小值为h（1）=-a；
当

1

3

＜

a

2

＜1时，g（x）的最小值为h（

a

2

）=-（1+

a2

4

）．
则g（x）的最小值为h（a）=

- 8 9 - 1 3 a，a≤ 2 3 -1- a2 4 ， 2 3 ＜a＜2 -a，2≤a≤3

点评：解决函数的单调性已知求参数的范围问题，常求出导函数，令导函数大于等于（或小于等于）0恒成立；解决不等式恒成立问题常分离参数转化为求函数的最值；通过换元法解题时，一定注意新变量的范围．