题目内容
已知⊙O：x2+y2=1，直线l的方程为x-y-4=0，点P为直线上一点，过点P做⊙O的切线切点为A，B．求A，B中点M的运动轨迹所在的方程．
考点：轨迹方程
专题：直线与圆
分析：设直线l：x-y-4=0上的点P（x0，x0-4），由此求出直线AB的方程，再求出直线OP的方程；
两方程联立，消去参数x0，求出动点M的轨迹方程．
两方程联立，消去参数x0，求出动点M的轨迹方程．
解答：
解：设点A（x1，y1）、B（x2，y2），且直线l：x-y-4=0上的点P为（x0，x0-4），
则再设Q（x，y）为过A的切线上一点，∴
=（x-x1，y-y1），
∵
•
=0，∴x1（x-x1）+y1（y-y1）=0，化简得x1x+y1y=x12+y12
又∵点A在圆x2+y2=1上，∴x12+y12=1，
∴经过点A的圆的切线为x1x+y1y=1，
同理经过点B的圆的切线为x2x+y2y=1；
又∵点P（x0，x0-40）是两切线的交点，
∴x0x1+（x0-4）y1=1，说明点A（x1，y1）在直线x0x+（x0-4）y=1上；
同理x0x2+（x0-4）y2=1，说明点B（x2，y2）在直线x0x+（x0-4）y=1上；
∴直线AB的方程为：x0x+（x0-4）y=1①，
又直线OP的方程为：（x0-4）x-x0y=0②；
①②联立，消去x0，
得4x2+4y2-x+y=0，
∴点M的运动轨迹所在的方程为4x2+4y2-x+y=0．
则再设Q（x，y）为过A的切线上一点，∴
| AQ |
∵
| AQ |
| OA |
又∵点A在圆x2+y2=1上，∴x12+y12=1，
∴经过点A的圆的切线为x1x+y1y=1，
同理经过点B的圆的切线为x2x+y2y=1；
又∵点P（x0，x0-40）是两切线的交点，
∴x0x1+（x0-4）y1=1，说明点A（x1，y1）在直线x0x+（x0-4）y=1上；
同理x0x2+（x0-4）y2=1，说明点B（x2，y2）在直线x0x+（x0-4）y=1上；
∴直线AB的方程为：x0x+（x0-4）y=1①，
又直线OP的方程为：（x0-4）x-x0y=0②；
①②联立，消去x0，
得4x2+4y2-x+y=0，
∴点M的运动轨迹所在的方程为4x2+4y2-x+y=0．
点评：本题考查了求点的轨迹方程的问题，解题时应先求出圆的切点弦所在直线方程，再利用两直线的交点坐标，消去参数，即可得出结论，是中档题．
练习册系列答案
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-
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