Question

已知函数f（x）=x+

a

x

+b（x≠0）．，其中a，b∈R
（1）若曲线y=f（x）在点P（2，f（2））处的切线方程为y=3x+1，求函数f（x）的解析式；
（2）当a＞0时，求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）求出函数的导函数，由函数在x=2处的导数值得到a的值，再由点在直线上得到b的值，则函数解析式可求；
（2）由导函数等于0求得导函数的零点，利用导函数的零点对定义域分段，结合导函数在不同区间段内的符号得到函数的单调性．

解答： 解：（1）由f（x）=x+

a

x

+b（x≠0），得
f′(x)=1-

a

x2

，由导数的几何意义得f'（2）=3，于是a=-8，
由切点P（2，f（2））在直线y=3x+1上可得-2+b=7，解得b=9，
∴函数f（x）的解析式为f(x)=x-

8

x

+9；
（2）f′(x)=1-

a

x2

，当a＞0时，令f'（x）=0，解得x=±

a

，
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：

x	（-∞，- a ）	- a	（- a ，0）	（0， a ）	a	（ a ，+∞）
f'（x）	+	0	-	-	0	+
f（x）		极大值			极小值

∴f（x）在（-∞，-

a

），（

a

，+∞）上是增函数，在（-

a

，0），（0，

a

）上是减函数．

点评：本题考查了利用导数求过曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数研究函数的单调性，是中档题．