Question

证明：1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＞1n（n+1）+

n

2(n+1)

（n≥1）．

Answer 1

考点：不等式的证明

专题：点列、递归数列与数学归纳法,推理和证明

分析：利用数学归纳法证明：（1）当n=1时，易证左边-右边＞0不等式成立；
（2）假设n=k（k∈N^*）不等式成立，即1+

1

2

+

1

3

+…+

1

k

＞1n（k+1）+

k

2(k+1)

（k≥1）成立，去推证当n=k+1时，不等式也成立即可．

解答： 证明：（1）当n=1时，左边-右边=1-（ln2+

1

4

）=

3

4

-ln2=

1

4

（lne³-ln16）＞0不等式成立，
（2）假设n=k（k∈N^*）不等式成立，即1+

1

2

+

1

3

+…+

1

k

＞1n（k+1）+

k

2(k+1)

（k≥1）成立，
那么，当n=k+1时，左边=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

k

+

1

k+1

＞1n（k+1）+

k

2(k+1)

+

1

k+1

，
下面证明：[ln（k+1）+

k

2(k+1)

+

1

k+1

]≥ln[（k+1）+1]+

k+1

2(k+2)

，
即证

k+2

k+1

-

k+1

k+2

-2ln

k+2

k+1

≥0．
构造函数f（x）=x-

1

x

-2lnx（x＞1），
则f′（x）=1+

1

x2

-

2

x

=（

1

x

-1）²≥0（当x=1时取“=”），
所以，f（x）=x-

1

x

-2lnx（x＞1）为增函数，
所以当x≥1时，f（x）≥f（1）=0，即x-

1

x

-2lnx≥0，
令x=

k+2

k+1

，则

k+2

k+1

-

k+1

k+2

-2ln

k+2

k+1

≥0，
即当n=k+1时，1+

1

2

+

1

3

+…+

1

k

+

1

k+1

＞ln[（k+1）+1]+

k+1

2(k+2)

，
综上所述，1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＞1n（n+1）+

n

2(n+1)

（n≥1）．

点评：本题考查不等式的证明，着重考查数学归纳法的应用，证明当n=k+1时，不等式也成立是难点，构造函数f（x）=x-

1

x

-2lnx（x＞1），利用导数法分析得到该函数为增函数是关键，属于难题．