Question

【题目】已知函数的图象在处的切线方程为.

（1）讨论函数的单调性；

（2）证明：.（注：，是常数）

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）证明见解析.

【解析】

（1）根据导数的几何意义可得，根据可得，对求导后，分类讨论可得函数的单调性；

（2）代入，将所证不等式转化为证不等式，利用（1）的结论得到，进一步得到，从而可得，再构造函数，利用导数可证，最后根据不等式的传递性可证不等式.

（1）因为，所以.

因为，所以，

所以.

所以，，

当时，，在上单调递减.

当时，令，得；令，得.在上单调递增，在上单调递减.

综上所述：当时，在上单调递减；

当时，在上单调递增，在上单调递减

（2）证明：由题意，要证，即证.

由（1）知，当时，，所以，即，

由，两边同时取自然对数，可得，

于是，即，

所以，

因为和不能同时取到，所以，

故.

令，

则，

因为和不能同时取到，故.

因为，所以，

所以原不等式成立.