Question

【题目】在直角坐标系中，已知点，曲线的参数方程为（为参数），点是曲线上的任意一点，点为的中点，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求点的轨迹的极坐标方程；

（2）已知直线：与曲线交于点，，射线逆时针旋转交曲线于点，且，求.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或.

【解析】

（1）设出点坐标，利用中点坐标公式得到曲线的参数方程，消去参数，可得曲线的普通方程，再将，代入普通方程，即可得解；

（2）设出射线的极坐标方程，代入的极坐标方程，求得，再求出射线的极坐标方程，代入的极坐标方程，求得，进而得到，结合题意，可求得，最后借助的范围即可得解.

（1）设，，

因为点为的中点，，所以，

消去参数，可得的直角坐标方程为，

将，代入，

得曲线的极坐标方程为.

（2）设射线：，

将代入，得.

逆时针旋转，得射线：，

将代入，得.

因为，所以，

所以，则，

又，所以，

所以或，解得或.

故的值为或.