Question

【题目】如图，在正三棱柱中，，，由顶点沿棱柱侧面经过棱到顶点的最短路线与棱的交点记为，求：

（1）三棱柱的侧面展开科的对角线长；

（2）该最短路线的长及的值；

（3）平面与平面所成二面角（锐角）的大小.

Answer 1

【答案】（1）；（2）最短路线的长为，此时；（3）

【解析】

（1）易知正三棱柱的侧面展开图是长为6,宽为2的矩形,进而求解即可；

（2）画出展开图,点运动到点的位置,由展开图可知为最短路径,进而求解即可；

（3）连接,则是平面与平面的交线,由的性质可得,再由平面平面,平面平面,可进一步得到,则是平面与平面所成二面角的平面角（锐角）,进而求解即可

（1）正三棱柱的侧面展开图是长为6,宽为2的矩形,其对角线长为

（2）如图,将侧面绕棱旋转使其与侧面在同一平面上,点运动到点的位置,连接交于,则是由顶点沿棱柱侧面经过棱到顶点的最短路线,

∴,

∵,,,

∴,∴,故,

即最短路线的长为,此时

（3）如图,连接,则是平面与平面的交线,

在中,,

∴.

又∵平面平面,平面平面,平面,

∴平面,∴,∴是平面与平面所成二面角的平面角（锐角）,

∵侧面是正方形,∴,

故平面与平面所成的二面角（锐角）为.