Question

【题目】设数列的首项为，前项和为，若对任意的，均有（是常数且）成立，则称数列为“数列”.

（1）若数列为“数列”，求数列的通项公式；

（2）是否存在数列既是“数列”，也是“数列”？若存在，求出符合条件的数列的通项公式及对应的的值；若不存在，请说明理由；

（3）若数列为“数列”， ，设，证明： .

Answer 1

【答案】（1）；（2）不存在；（3）证明见解析.

【解析】试题分析：

（1）由题意得，故，两式相减可得，在此基础上可得数列为等比数列，从而可得通项公式．（2）利用反证法可得不存在这样的数列既是“数列”，也是“数列”．（3）由数列为“数列”，可得到对任意正整数恒成立，于是可得，然后根据错位相减法求得 ，故得，故，即，即结论成立．

试题解析：

（1）因为数列为“数列”，

则

故，

两式相减得： ，

又时， ，

所以，

故对任意的恒成立，即（常数），

故数列为等比数列，其通项公式为.

（2）假设存在这样的数列，则有，故有

两式相减得： ，

故有，

同理由是“数列”可得，

所以对任意恒成立．

所以，

即，

又，

即，

两者矛盾，故不存在这样的数列既是“数列”，也是“数列”．

（3）因为数列为“数列”，

所以，

所以，

故有， ，

又时， ，

故，满足，

所以对任意正整数恒成立，数列的前几项为： ．

故，

所以，

两式相减得 ，

显然，

故，

即.