Question

【题目】已知函数，其中为自然对数的底数.

（1）若，求证：；

（2）若时，，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(1)见证明；(2)

【解析】

（1）由题意知f′（x）＝ex，（x＞﹣a）．对a分类讨论：当a＝0时，可判断显然成立．当0＜a≤1时，经过分析得出f（x）的最小值为f（0），代入计算即可证明结论．

（2）等价于，利用进行放缩，转化为恒成立时的a的范围，得到a<1,再去举反例说明时，不恒成立，即可得到a的范围.

（1）由，得 .

当，，显然成立.

当时，令 ，则，

故在为增函数.

又，可知函数在为减函数，在上为增函数，

所以函数在的最小值为，

且.

当时，，，所以成立，

综上当，有成立.

（2）因为当时，，

所以，

则有.

又因为，所以若，则有.

令 ，则，由，得.

当时，，函数在上单调递减，

当时，，函数在上单调递增，

故 ，

得.

当时，存在，使得成立，

这与矛盾，所以，又，

综上，即实数的取值范围.