Question

13．设函数f（x）=e^x，g（x）=ax²+bx+1．
（1）若函数f（x）与g（x）在x=0处的切线重合，求b的值；
（2）令h（x）=f′（x）-g′（x），求h（x）在[0，1]上的最小值；
（3）当b=1时，若不等式f（x）＞g（x）对任意x∈（0，+∞）都成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）令f′（0）=g′（0）解得b；
（2）对a进行讨论，判断h（x）的单调性，得出h（x）的最小值；
（3）令φ（x）=f（x）-g（x），求出导数和二阶导数，对a进行讨论，依次判断φ′（x），φ（x）的单调性，令φ_min（x）＞0解出a的范围．

解答 解：（1）f′（x）=e^x，g′（x）=2ax+b，
∵函数f（x）与g（x）在x=0处的切线重合，
∴f′（0）=g′（0），∴b=1．
（2）h（x）=e^x-2ax-b，h′（x）=e^x-2a，
若a≤0，则h′（x）＞0，∴h（x）在[0，1]上单调递增，
∴h_min（x）=h（0）=1-b；
若a＞0，令h′（x）=0得x=ln2a．
①若ln2a≤0，即0＜a$≤\frac{1}{2}$，则当x∈[0，1]时，h′（x）≥0，
∴h（x）在[0，1]上单调递增，∴h_min（x）=h（0）=1-b；
②若ln2a≥1，即a≥$\frac{e}{2}$，则当x∈[0，1]时，h′（x）≤0，
∴h（x）在[0，1]上单调递减，∴h_min（x）=h（1）=e-2a-b；
③若0＜ln2a＜1，即$\frac{1}{2}$＜a＜$\frac{e}{2}$，则当x∈[0，ln2a）时，h′（x）＜0，
当x∈（ln2a，1]时，h′（x）＞0，
∴h（x）在[0，ln2a]上单调递减，在（ln2a，1]上单调递增，
∴h_min（x）=h（ln2a）=2a（1-ln2a）-b．
综上，当a$≤\frac{1}{2}$时，h（x）的最小值为1-b；
当$\frac{1}{2}＜a＜\frac{e}{2}$时，h（x）的最小值为2a（1-ln2a）-b；
当a$≥\frac{e}{2}$时，h（x）的最小值为e-2a-b．
（3）b=1时，令φ（x）=f（x）-g（x）=e^x-ax²-x-1．
∵不等式f（x）＞g（x）对任意x∈（0，+∞）都成立，
∴φ_min（x）＞0．
φ′（x）=e^x-2ax-1，φ″（x）=e^x-2a．
①若a≤0，则φ″（x）＞0，∴φ′（x）在（0，+∞）上是增函数，
∴φ′（x）≥φ′（0）=0，∴φ（x）在（0，+∞）上是增函数，
∴φ（x）＞φ（0）=0，符合题意．
②当a＞0时，令φ″（x）=0得x=ln2a，
（i）若ln2a≤0，即0＜a≤$\frac{1}{2}$时，φ′′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，
∴φ′（x）在（0，+∞）上是增函数，∴φ′（x）＞φ′（0）=0，
∴φ（x）在（0，+∞）上是增函数，∴φ（x）＞φ（0）=0，符合题意．
（ii）若ln2a＞0，即a＞$\frac{1}{2}$，则当0＜x＜ln2a时，φ″（x）＜0，当x＞ln2a时，φ″（x）＞0，
∴φ′（x）在（0，ln2a）上单调递减，在（ln2a，+∞）上单调递增，
∴φ′（ln2a）＜φ′（0）=0，又$\underset{lim}{x→+∞}$φ′（x）=+∞，
∴存在x₀∈（0，+∞），使得φ′（x₀）=0，
∴φ（x）在（0，x₀）上单调递减，在（x₀，+∞）上单调递增，
∴φ（x₀）＜φ（0）=0，不符合题意．
综上，a的取值范围是（-∞，$\frac{1}{2}$]．

点评 本题考查了导数的几何意义，导数与函数单调性的关系，分类讨论思想，属于中档题．