Question

14．如图，D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB上的点，AD与EF相交于G，已知CD=2DB，AF=4FB，AG=mAD，AE=tAC．
（1）试用$\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AC}$表示$\overrightarrow{AD}$；
（2）若m=$\frac{1}{2}$，求t的值．

Answer 1

分析 （1）$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$=$\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$．
（2）用$\overrightarrow{AE}，\overrightarrow{AF}$表示出$\overrightarrow{AG}$，由E，F，G三点共线原理可列方程解出t．

解答 解：（1）∵CD=2DB，∴$\overrightarrow{BD}$=$\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$），∴$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$=$\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$．
（2）∵AF=4FB，AE=tAC，∴$\overrightarrow{AB}$=$\frac{5}{4}$$\overrightarrow{AF}$，$\overrightarrow{AC}$=$\frac{1}{t}\overrightarrow{AE}$，∴$\overrightarrow{AG}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{6}$$\overrightarrow{AC}$=$\frac{5}{12}$$\overrightarrow{AF}$+$\frac{1}{6t}$$\overrightarrow{AE}$．
∵E，F，G三点共线，∴$\frac{5}{12}$+$\frac{1}{6t}$=1，解得t=$\frac{2}{7}$．

点评 本题考查了向量的加减运算的三角形法则，属于基础题．