Question

18．在等差数列{a_n}中，d＞0，若a₁+a₄+a₇=12，a₁a₄a₇=28，数列{b_n}是等比数列，b₁=16，a₂b₂=4．
（1）求{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）令${c_n}={a_n}•{b_n}（n∈{N^*}）$，求{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．
（2）${c_n}=n•{2^{n-1}}$，利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）设{a_n}公差为d，{b_n}公比为q．
由a₁+a₇=2a₄，得3a₄=12，即a₄=4．
再结合题意，得$\left\{\begin{array}{l}{a_1}+{a_7}=8\\{a_1}{a_7}=7\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a_1}=1\\{a_7}=7\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a_7}=1\\{a_1}=7\end{array}\right.$（舍）．
由a₁=1，a₇=7，得$d=\frac{{{a_7}-{a_1}}}{7-1}=1$．
故a_n=a₁+（n-1）d=n．
在数列{b_n}中，$\left\{\begin{array}{l}{b_5}=16\\ 2{b_2}=4\end{array}\right.$，解得q=2．
所以${b_n}={2^{n-1}}$．
（2）因为${c_n}=n•{2^{n-1}}$，
所以${T_n}=1•{2^0}+2•{2^1}+3•{2^2}+…+n•{2^{n-1}}$．
又$2{T_n}=1•{2^1}+2•{2^2}+3•{2^3}+…+n•{2^n}$．
以上两式作差，得$-{T_n}=1+{2^2}+{2^3}+…+{2^{n-1}}+n•{2^n}$，
所以${T_n}=（n-1）•{2^n}+1$．

点评 本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．