Question

1．已知抛物线${C_1}：{y^2}=8x$的焦点为F，P是抛物线C₁上位于第一象限内的点，|PF|=4，P到双曲线${C_2}：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0\;\;，\;\;b＞0}）$的一条渐近线的距离为2，则双曲线C₂的离心率为$\frac{5}{4}$．

Answer 1

分析 利用抛物线的性质求出P的坐标，写出双曲线的局限性方程，推出a，b关系然后求解双曲线的离心率．

解答 解：抛物线${C_1}：{y^2}=8x$的焦点为F（2，0），P是抛物线C₁上位于第一象限内的点，|PF|=4，P（2，4），
P（2，4）到双曲线${C_2}：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0\;\;，\;\;b＞0}）$的一条渐近线bx-ay=0的距离为2，
可得：$\frac{|2b-4a|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=2，可得：4b=3a，
即：16c²-16a²=9a²，
∴$\frac{c}{a}$=$\frac{5}{4}$．
故答案为：$\frac{5}{4}$．

点评 本题考查抛物线以及双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．