Question

如图，△ABO是以AB为斜边的等腰直角三角形，OD⊥平面ABO，BC∥OD，且OD=2BC=2OA=2，E是AD中点，
（Ⅰ）求证：CE∥平面ABO；
（Ⅱ）求三棱锥E-ABC的体积V_E-ABC．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）取OA的中点F，连接BF，EF，先证明出四边形EFBC是平行四边形，进而推断出EC∥FB，根据线面平行的判定定理证明出EC∥平面ABO．
（Ⅱ）作AH⊥BF于H，先证明出平面EFBC⊥平面ABO，进而根据面面垂直的性质推断出AH⊥平面EFBC，分别求得OD，BC和OF，最后求得体积

解答： 解：（Ⅰ）如图所示，取OA的中点F，连接BF，EF，
∵E是AD的中点，
∴EF∥OD，且EF=

1

2

OD，
又BC∥OD，且OD=2BC=2OA=2，
∴EF∥BC，且EF=BC，
∴四边形EFBC是平行四边形，
∴EC∥FB，又E?平面ABO，FB?平面ABO，
∴EC∥平面ABO．
（Ⅱ）如图，作AH⊥BF于H，由（Ⅰ）知，BC⊥平面ABO，BC?平面EFBC，
∴平面EFBC⊥平面ABO，
∴AH⊥平面EFBC，
∵OD=2BC=2OA=2，
∴BC=1．
OF=AF=

1

2

，CE=BF=

1+ 1 4

=

5

2

，由

AH

AF

=

OB

BF

，得AH=

5

5

．
∴V_E-ABC=

1

3

×

1

2

×1×

5

2

×

5

5

=

1

12

．

点评：本题主要考查了线面平行的判定定理的应用．考查了学生空间观察和思维能力．